增广矩阵B=(A'A,A'b)＝A'(A,b),R(B)≤R(A')=R(A)

系数矩阵A'A的秩R(A'A)＝R(A)≤R(B)

所以R(A)=R(B),方程组A'Ax=A'b一定有解

比较清晰的理解方式是利用奇异值分解A=USV^T，中U和V是正交阵，S是非负的对角阵（并且可以要求S的对角元递减）。

A^TAx=A^Tb <=> VS^TSV^Tx=VS^TU^Tb <=> S^TSV^Tx=S^TU^Tb

显然这个方程总是有解的，如果S的恰好前r个对角元非零（以下总按这个假设），并且要求x的r+1,r+2,...,n的分量为0的话解还是唯一的。

扩展资料：

对于矩阵方程，当系数矩阵是方阵时，先判断是否可逆。如果可逆，则可以利用左乘或右乘逆矩阵的方法求未知矩阵，如果方阵不可逆或是系数矩阵不是方阵，则需要用矩阵的广义逆来确定矩阵方程有解的条件，进而在有解的情形求出通解。

举个例子：

1 3 2 …… 3 4 －1

2 6 5 * X = 8 8 3

-1 -3 1 ……－4 1 6

上列就是个矩阵方程。

参考资料来源：搜狗百科-矩阵方程